Problemas y ejercicios de mecánica

Problema de dinámica del sólido rígido:

Una esfera de radi R i massa m descriu un moviment composat d’una traslació del CM i d’una rotació al voltant del mateix. El CM es mou horitzontalment amb una velocitat constant v0, fins que l’esfera impacta a l'extrem inferior d'una barra vertical de massa M i longitud L, que penja d'un eix O. La velocitat angular de l’esfera abans del xoc és ω0 (també és constant). El xoc és elàstic.

El moment angular total de l’esfera respecte de l’origen O, es pot escriure com la suma de dues parts:

La primera part (moment angular orbital) és el moment angular del CM respecte de O, i la segona (moment angular intern o "spin") és el moment angular de tots els punts de l’esfera respecte del CM.

a)     Calculeu les dues parts, abans del xoc (distinguiu les dues situacions en les que la rotació de l’esfera és en sentit horari i antihorari).

b)     Després del xoc, la barra gira un angle de 180º i aleshores s’atura. ¿Quina és la velocitat angular de la barra just després del xoc?

c)     Plantejeu el sistema d’ecuacions que ens permeti calcular la velocitat del CM de l’esfera i la seva velocitat angular just després del xoc.

Test tema 5

1.- El momento de inercia respecto al eje de giro de un cuerpo cualquiera es constante siempre que:

a) el cuerpo sea rígido.

b) el eje de giro no varíe.

c) la velocidad angular sea constante.

d) el cuerpo sea rígido y el eje de giro no varíe.

e) el cuerpo sea rígido, el eje de giro no varíe y la velocidad angular sea constante.

2.- Es cierto que:

a) Para que exista rodadura (rodar sin deslizar) es necesario que haya una fuerza de fricción en todo momento.

b) Un patinador que gira sobre su propio cuerpo aumenta su velocidad angular si extiende los brazos.

c) La ecuación Mc = Icα, es válida para el sólido rígido siempre que el punto c sea un punto del sólido.

d) Un patinador que gira sobre su propio cuerpo mantiene constante su momento de inercia si extiende los brazos.

e) Ninguna de las anteriores respuestas es cierta.

3.- Una polea cilíndrica, de masa m y radio R, rueda sin deslizar por un plano inclinado 30º con la horizontal. La polea tiene enrollada una cuerda, cuyo otro extremo está fijo en el centro de masa de una segunda polea de masa m y radio 2R, la cual también rueda sin deslizar. Si α e la aceleración angular de la polea de radio R, y α’ la de la polea de radio 2R, es cierto que:

a) α=α’=g/5R

b) α=2α’=g/9R

c) α=α’/2=g/9R

d) α=α’/2=g/5R

e) α=α’=g/9R

4.- Sea el mismo sistema de la cuestión anterior. En el momento en que los puntos de contacto de las dos poleas con el plano están a una distancia de 4R, cortamos la cuerda. La velocidad de la polea pequeña es v0. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que las poleas chocan?

a) Nunca chocarán.

b) (v02-4gR/9)1/2- v0

c) 4R/ v0

d) 1.27R/ v0

e) R/ v0

5.- Dos masas (m y 2m) cuelgan de ambos lados de una polea cilíndrica homogénea de masa 3m, atadas por la misma cuerda. Se aplica una fuerza F al centro de la polea para que ésta ascienda con una aceleración g. ¿Cuánto vale F, si las dos masas, m y 2m, están ascendiendo respecto al suelo?

a) 7 mg

b) 7.2 mg

c) 11 mg

d) 11.2 mg

e) No se puede calcular sin saber el valor del radio de la polea.

6.- Un disco homogéneo gira con velocidad angular constante, ω,  respecto a un eje perpendicular a su superficie y que pasa por un punto C del disco. El punto C tiene velocidad cero. Si el punto C es el CM, el trabajo que hay que suministrar al disco para que se detenga es W. Si C está a una distancia R/2 del CM, siendo R el radio del disco, el trabajo para detenerlo es W’. ¿Cuánto vale el cociente W’/W?

a) 0.5

b) 1

c) 1.2

d) 1.5

e) 2

7.- Tres masas idénticas de 1 kg están unidas por tres barras de longitud 2 m y masa despreciable, formando un triángulo equilátero (con las masas en los vértices). Una de las masas (A) está en el punto (0,-1), otra (B) en el punto (0,1) y la tercera (C) en (d,0) con d positivo. Si la velocidad de A es (0,1) m/s y sabemos que el cuerpo gira respecto al origen de coordenadas, calcular las velocidades de B y C y la velocidad angular del cuerpo.

a) vB = (0,-1) m/s, vC = (1,0) m/s, ω = 1 rad/s

b) vB = (0,-1) m/s, vC = (1.73,0) m/s, ω = 1 rad/s

c) vB = (0,-1) m/s, vC = (1,0) m/s, ω = 2 rad/s

d) vB = (0,-1) m/s, vC = (1.73,0) m/s, ω = 2 rad/s

e) vB = (0,-1) m/s, vC = (1.73,0) m/s, ω = 0.5 rad/s

8.- Sean los siguiente cuerpos: una superficie esférica de radio R y masa m (cuerpo 1), un anillo de radio R y masa m (cuerpo 2), una barra sin masa con dos masas m/2 puntuales en los extremos (cuerpo 3). El cuerpo 1 gira respecto a un eje que pasa por su centro; el cuerpo 2 gira respecto a un eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro; el cuerpo 3 gira respecto a un eje que pasa por el centro de la barra y es perpendicular a ella. Es falso que:

a) Los momentos de inercia de los 3 cuerpos respecto de los ejes de giro son constantes.

b) Los momentos de inercia de los 3 cuerpos respecto de los ejes de giro son iguales.

c) El momento de inercia del cuerpo 2 es mayor que los otros dos.

d) El momento de inercia del cuerpo 2 respecto a un eje que pasa por su centro, pero paralelo al anillo, es menor que respecto al eje del enunciado.

e) Si el cuerpo 3 gira respecto a un eje que coincide con la barra, su energía cinética de rotación es nula.

Problema de equilibrio y estabilidad:

En un disc sense massa i radi R hi ha una molla enganxada al punt A i una massa m al punt G (la distància CG=R/2). La molla, de constant k, pot lliscar sense fricció per una guia horitzontal, de forma que en tot instant es manté en posició vertical. La molla té la seva longitud natural quan q es zero.

Sabent que mg és menor que 2kR, trobeu els valors de l'angle corresponents a les posicions d'equilibri que pot assolir el disc i discutiu-ne l'estabilitat.

Test Tema 4

1.- Cuál de estas afirmaciones es falsa:

a) Si la resultante de las fuerzas externas es cero, el momento de las fuerzas es independiente del punto respecto al que se calcula.

b) Para que un cuerpo se mantenga en equilibrio bajo la aplicación de tres fuerzas no paralelas entre sí, la resultante ha de ser nula y, además, las líneas de fuerza han de cruzarse en un punto.

c) El empuje experimentado por un cuerpo sumergido en un fluido, sólo depende del volumen sumergido y de la densidad del fluido.

d) En un sistema de un grado de libertad sometido a diferentes fuerzas y donde todas las reacciones son ideales, igualando a cero la derivada de la energía potencial respecto a la coordenada elegida, encontramos la posición de equilibrio.

e) Una compuerta plana rectangular está parcialmente sumergida en un fluido. La profundidad de la parte más baja de la compuerta es Z.  El punto de aplicación de la fuerza del fluido sobre la compuerta está a 2Z/3 de profundidad.

2.- La barra homogénea de la figura tiene un peso P i una longitud L. Está articulada en el punto A (que une el suelo y una guía vertical) i sujeta por el otro extremo al muelle de constante elástica k. El muelle se puede desplazar por la guía vertical, de manera que siempre se encuentra en posición horizontal. Suponer que su longitud natural es cero. Si P=kL, los ángulos de equilibrio son:

a) 0 y π/2

b) 0 y π

c) π/6 y π/2

d) π/3 y π/2

e) π/2 y π

3.- Sea el mismo sistema de la pregunta 2. Si lo resolvemos utilizando el principio de trabajos virtuales, siendo P la fuerza del peso y E la fuerza elástica (vectoriales), tenemos que:

a) No se puede resolver utilizando el principio de trabajos virtuales.

b) P·δrP+ E·δrE = (PL/2)cosθδθ-kL2senθ cosθδθ=0

c) P·δrP+ E·δrE = -(PL/2)cosθδθ+kL2senθ cosθδθ=0

d) P·δrP+ E·δrE = -(PL/2)cosθδθ+kLsenθ δθ=0

e) P·δrP+ E·δrE = -(PL/2)senθδθ+kL2senθ cosθδθ=0

4.- Sea la figura de la cuestión Q-4.3.6 de la colección de problemas. Calculad la tensión de la cuerda si, al quitarla, ¾ del volumen del cuerpo quedan sumergidos.

a) T = 0

b) T = (1/3)πR3ρg

c) T = (2/3)πR3ρg

d) T = πR3ρg

e) T = (4/3)πR3ρg

 5.- Sea una compuerta plana en forma de L (es decir, como si fueran dos compuertas rectangulares perpendiculares, pero de una sola pieza). Las dos partes (vertical y horizontal) tienen la misma longitud (1 metro cada una) y su anchura es de 1 m. Sobre la compuerta actúa la fuerza de un líquido que cubre la compuerta justo hasta su altura máxima. Calcular el peso de la compuerta (considerada homogénea) para que esté en equilibrio, sabiendo que la compuerta únicamente está articulada en el eje que une las partes vertical y horizontal y no hay más fuerzas actuando sobre ella.

a) 20 N

b) 40 N

c) 130 N

d) 200 N

e) Es imposible que la compuerta esté en equilibrio.

6.- Sea una compuerta como la anterior. Hasta la mitad de la altura de la compuerta hay mercurio (densidad de 13.6 g/cm3) y, por encima, hay agua hasta la altura máxima. Calcular la fuerza total de los líquidos, (aproximar g=10 m/s2).

a) 68 kN sobre la parte horizontal y 34 kN sobre la parte vertical.

b) 68 kN sobre la parte horizontal y 19.5 kN sobre la parte vertical.

c) 73 kN sobre la parte horizontal y 36.5 kN sobre la parte vertical.

d) 73 kN sobre la parte horizontal y 34 kN sobre la parte vertical.

e) 73 kN sobre la parte horizontal y 19.5 kN sobre la parte vertical.

7.- Una placa cuadrada homogénea está sumergida totalmente en agua, formando un ángulo con la horizontal. La placa está apoyada en el suelo (μ=0.1) y en una pared vertical lisa. Calcular los ángulos de equilibrio, además de 0 y 90º.

a) θ<=78.7º

b) θ>=78.7º

c) θ<=5.7º

d) θ>=5.7º

e) No hay más ángulos de equilibrio además de 0 y 90º.

8.- Una barra está compuesta por dos mitades, la azul (con una densidad mayor) y la roja (menos densa). Si la sumergimos verticalmente en un líquido, con la mitad azul arriba y la roja debajo, es cierto que:

a) La barra está en una posición de equilibrio inestable.

b) La barra está en una posición de equilibrio estable.

c) La barra está en una posición de equilibrio indiferente.

d) La barra no está en equilibrio.

e) La barra estará en equilibrio o no, dependiendo de si está total o parcialmente sumergida.

1.- Problema Tema 1:

Sean 2 vectores: u=(0,0,1) y v=(senwt,-coswt,0) y un escalar: s=a·exp(-bt).

a,b y w son constantes y t es el tiempo.

a) Calcular los productos escalar u·v y vectorial uxv. ¿Cuál es el ángulo que forman u y v?

b) Sea el vector de posición de una partícula, r=s·uxv. Determinar los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo. Calcular el radio de curvatura y las componentes tangencial y normal de la aceleración.

c) Determinar los vectores unitarios tangencial normal y binormal.

d) ¿Qué tipo de movimiento tenemos si b=0? ¿Y si w=0 pero b distinto de cero? ¿Qué tipo de movimiento tenemos si b y w son distintos de cero?

Ayuda: El apartado (a) está bien resuelto en los comments. Respecto a usar letras griegas yo tampoco lo se aún. Investigaré para ver si puedo añadir diferentes formatos de letra. Por ahora, para salir del paso, podéis usar simplemente otra letra o llamarlo alpha o usar mayúsculas, o cursiva, o subrallarla ( a )... da igual.

Como veis, lo que sí he hecho es poner los vectores en negrita. Ánimo que va bien...

El vector velocidad: v=[-baexp(-bt)cos(wt)-waexp(-bt)sen(wt),-baexp(-bt)sen(wt)+waexp(-bt)cos(wt)]

El módulo de la velocidad: v=[(b^2-w^2)^(1/2)]·aexp(-bt)

El vector aceleración: A=aexp(-bt)[(b^2-w^2)cos(wt)+2bwsen(wt),(b^2-w^2)sen(wt)+2bwcos(wt)]

El módulo de la aceleración: A=[aexp(-bt)]·[(b^2-w^2)^2+4b^2w^2]^(1/2)

(Escribo A para deiferenciarlo del parámetro a)

La aceleración tangente: At=dv/dt=-b[(b^2-w^2)^(1/2)]·aexp(-bt)=-b·v

El vector tangente: v(unit)=v/v=[-bcos(wt)-wsen(wt),-bsen(wt)+wcos(wt)]/[(b^2-w^2)^(1/2)]

Ahora solo falta encontrar R y acabar...

Autoevaluación

Temas 1-2 (todas las magnitudes en el S.I.) '''Para realizar en 65 minutos. Por cada minuto de más restad 1 punto del resultado. Respuesta acertada: 10/7 puntos, respuesta fallada: -2.5/7 puntos.'''

1.- Sean dos observadores, O y O’, cada uno con su sistema de referencia: S y S’, respectivamente. La transformación de unas coordenadas a otras es: x’=x; y’=y-2t; z’=z+t y t’=t. Es cierto que:

a) Son sistemas de referencia no inerciales.

b) Los dos encontrarán la misma velocidad para cualquier partícula.

c) Si O’ mide una velocidad nula para una partícula, la velocidad según O será (0,-2,1).

d) Si una partícula se mueve con aceleración constante según O, no tiene porque hecerlo según O’.

e) Ninguna de las anteriores es cierta.

 2.- Una partícula se mueve en un movimiento circular uniformemente desacelerado. Podemos expresar la trayectoria como: r=(Acoswt,Asenwt), siempre y cuando (imaginamos que A y w no son negativos)

a) A no sea constante y w sí.

b) A sea constante y w aumente con el tiempo.

c) Ni A ni w sean constantes.

d) No se puede expresar la trayectoria de esa forma.

e) A sea constante y w disminuya con el tiempo.

 3.- Una partícula se mueve en un movimiento circular uniforme. Es cierto que se conserva:

a) Sólo la cantidad de movimiento.

b) Sólo la energía mecánica.

c) Sólo el momento angular respecto al centro de la circunferencia.

d) La energía mecánica y el momento angular respecto al centro de la circunferencia.

e) La cantidad de movimiento y la energía mecánica.

4.- Sea la energía potencial U=xyz. Es falso que:

a) La fuerza conservativa asociada es independiente del tiempo.

b) x·Fx=y·Fy=z·Fz (Fx, Fy, Fz son las componentes de la fuerza).

c) Si se deja una partícula en el origen con velocidad nula, se moverá hacia la parte negativa de los ejes.

d) Si se deja una partícula en el punto (1,1,1) con velocidad nula, se moverá hacia la origen.

e) El trabajo al ir de un punto a otro es independiente del camino.

5.- Sea la fuerza F=(y2,2xy). Es cierto que:

a) El trabajo de la fuerza al mover la partícula entre el origen y el punto (2,2) es 8J.

b) La fuerza no es conservativa.

c) La fuerza es conservativa pero no es posible encontrar el trabajo porque la integral que habría que hacer es demasiado complicada.

d) La energía potencial asociada es U=-2y.

e) El trabajo de la fuerza al mover la partícula entre el origen y el punto (2,2) es 0.

6.- Es cierto que:

a) Ninguna de las otras respuestas es cierta.

b) La fuerza puede depender de la aceleración.

c) Si un cuerpo se está moviendo, no es posible que se conserven a la vez: la cantidad del moviento, el momento angular respecto a varios puntos distintos y la energía mecánica.

d) Podemos determinar completamente la magnitud del momento de la fuerza respecto a un punto multiplicando el módulo de la fuerza por el brazo de la fuerza.

e) Podemos determinar completamente la magnitud del momento de la fuerza respecto a un punto, integrando el momento angular (respecto al mismo punto) en función del tiempo y dando un valor inicial al momento de la fuerza.

7.- Tenemos dos partículas de masa 1 kg. Una de ellas se deja caer desde una altura h y está sometida a la fuerza de fricción viscosa del aire, donde b=9.8 Ns/m. La otra se deja caer desde la misma altura h, por un plano inclinado de ángulo 30º, donde el coeficiente de rozamiento dinámico es 0.2 y no hay fricción viscosa. ¿Cuál es el valor de h para que las dos partículas lleguen al suelo con la misma velocidad? Suponer que la primera partícula alcanza la velocidad límite y tomar g=9.8 m/s2:

a) 12.8 cm

b) 7.8 cm

c) 6.4 cm

d) 5.8 cm

e) 3.9 cm

Autoevaluación

'''Tema 3. 'Para realizar en 90 minutos. Por cada minuto de más restad 1 punto del resultado. Respuesta acertada: 1 punto, respuesta fallada: -0.25 puntos.''

1.- Sea un sistema de partículas. Es cierto que:

a) La suma de las fuerzas es nula.

b) El momento de las fuerzas internas es nulo.

c) El trabajo de las fuerzas internas es nulo.

d) La variación de la energía cinética es menos la variación de la energía potencial.

e) Ninguna de las anteriores es cierta.

 2.- Sea un sólido rígido. Es cierto que:

a) La suma de las fuerzas es nula.

b) El momento de las fuerzas internas es nulo sólo si el movimiento del sólido es de traslación.

c) El trabajo de las fuerzas internas es nulo.

d) La variación de la energía cinética es menos la variación de la energía potencial.

e) Ninguna de las anteriores es cierta.

 3.- Sea un sólido rígido cuyo movimiento es sólo de rotación respecto al CM. el cual está fijo. Es cierto que:

a) La suma de las fuerzas es nula.

b) El momento de las fuerzas es nulo.

c) El trabajo de las fuerzas internas es positivo.

d) La variación de la energía cinética es menos la variación de la energía potencial.

e) Ninguna de las anteriores es cierta.

4.- Una bala de masa m y velocidad v, cte, se mueve horizontalmente hasta que choca con un bloque de masa M que cuelga del techo mediante una cuerda inextensible de masa despreciable. La bala queda incrustada en el bloque. ¿Hasta qué altura subirá el conjunto bloque+bala? No hay rozamiento del aire.

a) m2v2/2g(M+m)2

b) mv2/2g(M+m)

c) 0

d) m2v2/2gM2

e) 2m2v2/g(M+m)2

5.- Sea el sistema del problema anterior. Considerar que el choque tiene un coeficiente de restitución e. ¿Hasta qué altura subirá el bloque?

a) (1+e)2m2v2/g(M+m)2

b) 0

c) (1+e)2m2v2/2g(M+m)2

d) (1+e)2m2v2/2gM2

e)(1+ e)mv2/2g(M+m)

6.- Sea un cilindro macizo homogéneo, cuya base circular tiene un radio R y de altura también R. Extraemos parte de la masa en forma de cono de base circular de radio R y altura R. El eje de simetría del cilindro y del agujero cónico es el mismo.En la base del cilindro que tocaría con el vértice del agujero cónico, añadimos una semiesfera homogénea de radio R (el centro de la “esfera” coincide con el vértice del agujero cónico) que no corta al agujero cónico. La densidad de la semiesfera es la mitad que la del cilindro. ¿A qué distancia de la base del agujero cónico está el centro de masas del cuerpo compuesto?

a) R/4

b) R/2

c) 3R/4

d) 7R/8

e) R

7.- En cuál de las siguientes situaciones NO se conserva el momento angular del cuerpo considerado respecto al origen de coordenadas, O.

a) Un avión está volando en línea recta y con velocidad constante. O es la torre de control del aeropuerto de Calasparra.

b) Un CD de Julio Iglesias está sonando en un reproductor. O es el centro del CD.

c) El piloto Sebastian Vettel está dando vueltas a un circuito elíptico manteniendo el módulo de la velocidad constante. O es uno de los focos de la elipse.

d) La Luna da vueltas alrededor de la Tierra. O es el centro de la Tierra. Se supone que los demás astros no influyen en el movimiento.

e) Una masa en el vacío que ha estado previamente sometida a un par de fuerzas, una vez eliminadas esas fuerzas. O es cualquier punto fijo del espacio.

8.- Sea un sistema formado por 2 masas puntuales, donde la única fuerza presente es la atracción gravitatoria entre ellas:

a) El CM del sistema está siempre en reposo.

b) La componente de la velocidad perpendicular a la línea de unión de las dos masas es constante para ambas masas.

c) Existe al menos un punto del espacio respecto al cual el momento angular del sistema no se conserva.

d) El momento angular de una de las masas se conserva respecto a un punto fijo.

e) Ninguna de las otras respuestas es cierta.

9.- 2 masas de 1 kg están unidas por una barra rígida de 1 m de longitud y de masa despreciable. Las dos masas giran (con lo módulos de sus velocidades constantes) alrededor de un punto fijo O, de tal forma que, en todo momento, las dos masas y el punto O están alineados. La distancia desde el punto O hasta el CM del sistema es de 1.5 m. Si el sistema tarda 3π segundos en dar una vuelta completa, determinar el módulo de la fuerza neta que actua sobre el sistema, el módulo del momento angular respecto a O y el módulo del momento angular respecto al CM.

a) F= 19.6 N, L(O)= 3 kg·m2/s, L(CM)= 0

b) F= 4/3 N, L(O)= 10/3 kg·m2/s, L(CM)= 1/3 kg·m2/s

c) F= 4/3 N, L(O)= 10/3 kg·m2/s, L(CM)= 1 kg·m2/s

d) F= 4/3 N, L(O)= 3 kg·m2/s, L(CM)= 0

e) F= 19.6 N, L(O)= 10/3 kg·m2/s, L(CM)= 1/3 kg·m2/s

 10.- Del techo cuelga una cuerda de longitud L que sujeta una masa de 3 kg. De esta masa cuelga otra cuerda, también de longitud L, que sujeta una segunda masa de 2 kg. Llamamos α al ángulo que forma la cuerda del techo con la vertical, y β al ángulo que forma la cuerda de abajo con la vertical. El movimiento del sistema se restringe al plano X-Y. Definimos el sistema de coordenadas tal que el origen está en el punto del techo de donde cuelga la cuerda de arriba, y el eje Y va en vertical hacia abajo. Un desplazamiento posible del sistema debe cumplir que:

a) dα+dβ=0

b) Para la masa de abajo, xdx+ydy=0

c) dα=dβ

d) Para la masa de arriba, dx+dy=0

e) dα y dβ son independientes.